三角函数导数公式全集

三角函数导数公式详解

在微积分学中，三角函数导数公式是学习导数的基础内容之一。熟练掌握这些公式，对于解决涉及三角函数的导数问题至关重要。以下是对三角函数导数公式的详细解析和推导。

一、正弦函数（sin x）的导数

正弦函数sin x的导数为cos x。这一结论可以通过极限的定义来推导。

设f(x) = sin x，我们需要求f'(x)。

根据导数的定义，有

f'(x) = lim (Δx → 0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx

将f(x) = sin x代入上式，得

f'(x) = lim (Δx → 0) [sin(x + Δx) - sin x] / Δx

利用和差化积公式，上式可化为

f'(x) = lim (Δx → 0) 2sin(Δx/2)cos(x + Δx/2) / Δx

由于sin(Δx/2)与Δx/2是等价无穷小，即lim (Δx → 0) sin(Δx/2) / (Δx/2) = 1，所以上式可进一步化简为

f'(x) = lim (Δx → 0) 2(Δx/2)cos(x + Δx/2) / Δx = cos(x + 0) = cos x

因此，正弦函数sin x的导数为cos x。

二、余弦函数（cos x）的导数

余弦函数cos x的导数为-sin x。这一结论同样可以通过极限的定义来推导。

设g(x) = cos x，我们需要求g'(x)。

根据导数的定义，有

g'(x) = lim (Δx → 0) [g(x + Δx) - g(x)] / Δx

将g(x) = cos x代入上式，得

g'(x) = lim (Δx → 0) [cos(x + Δx) - cos x] / Δx

利用和差化积公式，上式可化为

g'(x) = lim (Δx → 0) -2sin(x + Δx/2)sin(Δx/2) / Δx

同样地，由于sin(Δx/2)与Δx/2是等价无穷小，所以上式可进一步化简为

g'(x) = lim (Δx → 0) -2sin(x + Δx/2)(Δx/2) / Δx = -sin(x + 0) = -sin x

因此，余弦函数cos x的导数为-sin x。

三、正切函数（tan x）的导数

正切函数tan x的导数为sec² x。这一结论可以通过商的导数公式来推导。

设h(x) = tan x = sin x / cos x，我们需要求h'(x)。

根据商的导数公式，有

h'(x) = [(sin x)'cos x - sin x(cos x)'] / (cos x)²

将(sin x)' = cos x和(cos x)' = -sin x代入上式，得

h'(x) = (cos² x + sin² x) / (cos x)² = 1 / (cos x)² = sec² x

因此，正切函数tan x的导数为sec² x。

四、余切函数（cot x）的导数

余切函数cot x的导数为-csc² x。这一结论同样可以通过商的导数公式来推导。

设k(x) = cot x = cos x / sin x，我们需要求k'(x)。

根据商的导数公式，有

k'(x) = [(cos x)'sin x - cos x(sin x)'] / (sin x)²

将(cos x)' = -sin x和(sin x)' = cos x代入上式，得

k'(x) = (-sin² x - cos² x) / (sin x)² = -1 / (sin x)² = -csc² x

因此，余切函数cot x的导数为-csc² x。

五、正割函数（sec x）的导数

正割函数sec x的导数为sec x tan x。这一结论可以通过商的导数公式和三角恒等式来推导。

设m(x) = sec x = 1 / cos x，我们需要求